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 Linear algebra study realm

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Sweet
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MessageSujet: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:13

036 Final exam study realm is henceforth open!!! Subscribe! Subscribe!
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spirit

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:14

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JellyFish

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:17

God, thank you! I need help now, immediately! How do you know what method to use when they ask questions like find a closest point from a plane, or find a line through a point and a plan and all those confusing questions?

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Sweet
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:29

Like... what kind of questions exactly. Because there are a lot of variants of them.
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spirit

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:33

You see you can't even help her!

Let me answer this question, for I possess the ultimate power of algebra in my brain!

So, for your question: "How do you know what method to use when they ask questions like find a closest point from a plane, or find a line through a point and a plan and all those confusing questions?" You use the cross product when it comes to find an orthogonal vector and the dot product to deduct the closest point.
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:34

That's... So how exactly does it apply to all questions?

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:35

See, Spirit, you're not helping.
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 15:41

Oh yeah? Well, can you answer better? 025
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 16:00

Ok, let me make a list of questions, all in R3

1) Find the closest point to a line.
2) Find the closest point to a plane.
3) Find the closest distance between two planes.
4) Find the closest distance between two lines.
5) Find the closest distance between a point and a line.
6) Find the intersection of two planes.
7) Find the intersection of two lines.
8) Find the intersection of a line and a plane.
9) Find two orthogonal planes which intersect at a given line.
10) Find a plane which contains a given line.
11) Find a plane which contains a given line and which is parallel to a specific axis.
12) Find two parallel plane each containing one of the given skew-lines.
13) Find a plane with contain a given point and a line.
14) Find a plane containing two intersecting lines.
15) Find a plane containing two parallel lines.
16) Find the line of intersection of two planes.
17) Find a plane that passes through the origin and orthogonal to two given planes.
18) Find a plane passing through a given point and parallel to a specific axis.
19) Find a plane which contains a given line and orthogonal to a given plane
20) Find two planes which intersect at a given point.
21) Find a line that is perpendicular to a given line.

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:00

o_O There are so many - but no fear, I can handle all this. HOHO!

Spoiler:
 


Dernière édition par spirit le Dim 8 Mai 2011 - 22:06, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:15

It's too long to read, and so confusing! 4

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:20

Don't tell me I wasted my time for nothing. 02
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:21

Well, it's ok. I think it's clearer now. I just need to remember the other stuffs. 010 010 010

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:23

I have trouble with the adjoint. It's so long to calculate and so useless (well, so far...)
Do you have any tips?

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:30

You can calculate the adjoint of A by using adjA = (detA)A^-1, so you find the inverse of A and them find the adjoint. But usually, you use the adjoint to find the inverse of A, I think.
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 20:58

Ok. Other question:
Use the properties of the dot product to show that ||u+v||^2=||u||^2+||v||^2+2u*v

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:00

That's easy.
||u+v||^2 = (u + v)*(u + v) = u*u + v*v + u*v + v*u = ||u||^2 + ||v||^2 + 2u*v
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:01

State and prove Lagrange’s Identity.

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:18

||u x v||^2 = ||u||^2 ||v||^2 - (u*v)^2 = ||u||^2 ||v||^2 - ||u||^2 ||v||^2 (cosθ)^2 = ||u||^2 ||v||^2 (1 - (cosθ)^2) = ||u||^2 ||v||^2 (sinθ)^2 =||u x v||^2 QED
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:21

State the formula for the volume of the parallelepiped determined by the vectors u, v and w. Prove it.

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:32

It's the triple scalar product: |u*(v x w)|
Why? Because - two vectors form a parallelogram: let them be v and w. The area of a parallelogram is base x height: let the base be ||v||. The height would be ||w|| sinθ, thus area = ||v||||w|| sinθ = ||v x w||.
The volume of the parallelepiped is the area of the base x height. The height is lying on the vector v x w, thus it is ||proj_(v x w) u|| = |u*(v x w)|/||v x w||.
Thus, the volume is ||v x w|| |u*(v x w)|/||v x w|| = |u*(v x w)|
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:33

For some vector u and v, prove that u x v is orthogonal to both u and v.

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:53

u*u x v = v*u x u = v*0 = 0 Thus, they are orthogonal.
Same for v.
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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 21:55

Derive the formulas for plane and line equations in R3.

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MessageSujet: Re: Linear algebra study realm   Dim 8 Mai 2011 - 22:13

Plane: A plane is defined by a point A(a1,a2,a3) and a normal n=(a,b,c)T. Taking any other point P(x,y,z), AP*n = 0.
Thus, AP*n = (x - a1, y - a2, z - a3)T * (a,b,c) = a(x - a1) + b(y - a2) + c(z - a3) = ax - aa1 + by - ba2 + cz - ca3 = 0
ax + by + cz = aa1 + ba2 + ca3 = d
The equation of a plane is ax + by + cz = d

Line: A line need two points P(p1,p2,p3) and Q(q1,q2,q3).
PQ = (q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3)T
The equation of the line is X = t(q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3)T + P or X = t(q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3)T + Q
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